Menu Close
క్రమచయసంచయం
పురాతన భారతీయ గణిత శాస్త్రంలో ఒక విశేషం
-- పిల్లలమఱ్ఱి కృష్ణ కుమారు --

నేను ప్రస్తుతం ఒక సంస్కృత భాష నేర్చుకుంటున్న విద్యార్థిని. భాషలో ప్రత్యయాలగురించి నేర్చుకుంటూ ఉంటే వీటిలో చాలా మంచి ప్రణాళిక, ఒక గణిత శాస్త్రపూరిత ప్రాతిపదిక ఉన్నాయని అర్థమయింది. అందుకని ఈ ప్రత్యయాల వెనక ఉన్న ప్రణాళిక కోసం పరిశోధనగా వెతుకుతుంటే ఇవి ఆంగ్లంలో Combinatorics అనే శాఖ - 'క్రమచయసంచయ గణితం' - మీద ఆధారపడి ఉన్నాయన్న మాట మనకి సులభంగా అర్థమవుతుంది. దీన్ని గణితంలో Permutations and Combinations అని వ్యవహరిస్తారు. అయితే ఇది అంత వెంటనే తట్టే విషయం కాదు. ఈ పరిశోధనలో మొట్టమొదటి Combinatorics Equation కనబడింది. అసలు ఈ సమీకరణం వల్ల ఏం ఉపయోగం? ఇది ఏమని చెపుతుంది?

ఇది అందరికీ సులభంగా అర్థమయేదే. మనదగ్గిర కొన్ని వస్తువులున్నాయనుకోండి. వాటిలో కొన్ని మాత్రమే తీసుకోవాలంటే ఎన్ని రకాలుగా ఈ సెలక్షన్ చెయ్యచ్చు? ఈ Combinatorics దీనికి ఉపయోగ పడుతుంది. ఉదా: మీ దగ్గిర 16 రంగుల పూలు ఉన్నాయనుకోండి. వాటిలో 4 రంగులు ఒకతీరులో వాడి ఒక దండ తయారు చెయ్యచ్చనుకోండి. ఇలా ఎన్ని రకాల దండలు చెయ్యగలరు? ఇది 9వ శతాబ్దంలో మహావీరుడు (జైన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు) ప్రతిపాదించాడని N.L.Biggs అనే ఆంగ్లేయుడు రాసాడు. (NL Biggs, Historia Mathematica, pp 109 -136). ఆ తర్వాతి యూరోపియనులు ఈ జ్ఞానం మాదే అని వాదించడానికి ప్రయత్నించారు. ప్రస్తుతం వికీపీడియాలో మీరు చూస్తే ఇది 16వ శతాబ్దం జ్ఞానం అనీ, లియోనార్డో ఫిబొనాచ్చి అనేవాడు కనిపెట్టాడని మాత్రమే రాసి ఉంటుంది. (ఎక్కడో చిన్నగా భారతీయులకి ఇది తెలుసన్నట్లు రాసారు గానీ, అసలు తమదే అన్నట్లు రాశారు. ఇది ఎంత అన్యాయమంటే, వాళ్ళకంటే 1500 ఏళ్ల క్రితమే ఈ సమీకరణాల గురించి హిందువులకి తెలుసు. (ఎలాగో కింద చూద్దాం). భారతదేశ ప్రాముఖ్యతని తగ్గించడానికి కంకణం కట్టుకున్న వికీపీడియాలో ఈ విషయం బయటకి రానివ్వట్లేదు. నేను దాన్ని మార్చడానికి ప్రయత్నిస్తే వాళ్ళు నా మార్పులు స్వీకరించలేదు. వికీపీడియాని గుడ్డిగా నమ్మే మనవాళ్ళు నాతోనే వివాదం పెట్టుకున్నారు తప్ప, అసలు విషయం ఏమిటని పరిశోధనాత్మకంగా చూడట్లేదు. పైగా భారతదేశంలో పాఠ్య పుస్తకాలలో దీనిని స్విస్ దేశీయుడైన జేకబ్ బెర్నౌలి (1654 - 1705) అనీ, బ్లెయిస్ పాస్కల్ ( 1623 - 1663) అనీ రాస్తున్నారు. (Pascal's Triangle) అంటే ఈ పాఠ్య పుస్తకాలు రాసేవారికే దీని గురించి సరైన అవగాహన లేదు. మరి ప్రభుత్వాలు కూడా దీని గురించి పట్టించుకోవట్లేదు. కాబట్టి మన విద్యార్థులు ఈ తప్పు అవగాహనతోనే నేర్చుకుంటున్నారు. ఇది బాధాకరం కాదూ?

ఈ విషయం గురించి కొంతమంది పండితులతో మాట్లాడుతూ ఉండగా, మిత్రులు నిత్యానంద మిశ్రా ఈ మధ్యనే కొత్తగా ఒక విషయం కనుక్కున్నారు: ఈ సమీకరణం వరాహ మిహిరుడు 6వ శతాబ్దంలోనే తన 'బృహత్సంహిత' లో వెల్లడించాడని. అంటే పైన ఉదహరించిన మహావీరుడికంటే 300 ఏళ్ల ముందర. ఆ బృహత్సంహిత లోని శ్లోకం ఇలా ఉన్నది:

షోడశకే ద్రవ్యగణే చతుర్వికల్పేన భిద్యమానానాం
అష్టాదశ జాయంతే శతాని సహితాని వింశత్యా ||  (బృహత్సంహిత 77.20)

ఇది పరిమళాలు ఎలా తయారు చెయ్యచ్చో తెలిపే అధ్యాయంలో ఉన్నది. అంటే, 16 ద్రవ్యాలలో నాలుగేసి చొప్పున ద్రవ్యాలుపయోగించి 1820 పరిమళాలు తయారుచెయ్యచ్చు. ఈ శ్లోకాన్నే నేను పైన పూలగా మార్చి ఉదహరించానన్నమాట. అంటే మొత్తం 16 రంగుల పూలుంటే నాలుగేసి రంగుల పూలతో మొత్తం 1820 రకాల దండలు మీరు తయారు చెయ్యచ్చు.

10వ క్లాసు గణితం తెలిసినా ఈ equation 16C4 = 1,820 అని తెలుస్తుంది. ఇది ఇంకొంచెం వివరంగా రాస్తే,

16C4 = (16 × 15 × 14 × 13) / (1 × 2 × 3 × 4) = 1,820 అని తెలిసిపోతుంది.

దీన్ని

nCR = n(n-1)(n-2).. .(n-r+1) / (1 x 2 x 3 ..r) గా రాయచ్చు.

సంస్కృతభారతిలో సభ్యులైన డాక్టర్ టి. మురళీకృష్ణగారు Combinatorics గురించి 'సంభాషణ సందేశం' పత్రికలో రాస్తూ, 'క్రమచయసంచయ గణితం' గురించి రాసారు. ఆయన పరిశోధన ప్రకారం 8వ శతాబ్దికి చెందిన శ్రీధరాచార్యుడు తన ' గణితసారసంగ్రహం' అనే గ్రంథంలో ఇలా రాసాడు:

ఏకాద్యుత్తరవిధినా రసవిన్యాసే విలోమితో గుణయేత్
పూర్వేణ పరం క్రమశ: రూపాదిచయైర్హరైర్విభజేత్ || (గణితసారసంగ్రహం  6.210)

(రస విన్యాసాలను గుర్తించడానికి ఒకొక్క సంఖ్య తగ్గిస్తూ గుణించి, దాన్ని ఒకటినుంచి ఎన్ని రూపాలు వర్తిస్తాయో అన్ని గుణించి విభజించాలి)

ఇంతకంటే సరిగ్గా 6.218 లో ఉన్నది:

ఏకాద్యేకోత్తరతః పదమూర్ధ్వధర్యతః క్రమోత్క్రమసః
స్థాప్య ప్రతిలోమఘ్నం ప్రతిలోమఘ్నేన భాజితం సారం || (గణితసారసంగ్రహం 6.218)

రంగాచార్య అనే ఆయన దీనికి అనువాదం ఇచ్చారు:

Rangacharya’s translation of the above verse: “Beginning with one and increasing by one, let the numbers going up to the given number of things be written down in regular order and in the inverse order (respectively) in an upper and a lower (horizontal) row. (If) the product (of one, two, three, or more of the numbers in the upper row) taken from right to left (be) divided by the (corresponding) product (of one, two, three, or more of the numbers in the lower row) also taken from right to left, (the quantity required in each such case of combination) is (obtained as) the result.”

క్రమచయము గణించే పద్ధతి ఇది:

2. వంకాయ, ఆలుగడ్డ, కాలీఫ్లవరు, టమాట – ఈ నాలుగు కూరగాయలలో ఏవి కలిపి వండినా రుచిగానే ఉంటుంది.అలా కలగలుపు వంటలు ఎన్ని రకాలు?

4 కలిపి : - వం, ఆ, కా, ట (1)

3 చొప్పున: - ఆ, కా, ట; వం, కా, ట; వం, ఆ, ట; వం, ఆ, కా (4)

2 చొప్పున: - ఆ, కా; ఆ, ట; కా, ట; వం, కా; వం, ట; వం, ఆ (6)

ఇక్కడ గణించే పద్ధతి ఇది

1 నుండి, ఎన్ని వస్తువులున్నాయో అంతవరకూ, వరుసగా సంఖ్యలు వ్రాయండి.  దాని క్రింద అవే సంఖ్యలు విలోమ క్రమములో వ్రాయండి.

4 వస్తువులకు

1    2   3   4

4   3    2   1

ఇప్పడు, మీరు ఎన్ని వస్తువులు ఏరుకుంటారో, అన్ని సంఖ్యలు, కుడి నుండి ఎడమకు, రెండువరుసలనుండి గ్రహించండి

2 ఏరుకుంటే, పై వరుసలో 4,3. క్రింది వరుసలో 1, 2.

రెండు వరుసలలో వచ్చిన సంఖ్యలను ఏ వరుస కా వరుస గుణించండి.

4x3 = 12, 1x2 = 2

ఇప్పుడు పై వరుస ఫలితాన్ని, క్రింది వరుస ఫలితముతో భాగిస్తే, మనకు కావలసిన వంటకాల సంఖ్య వస్తుంది.

12 / 2 = 6.

ఇలాగే 3 కూరగాయల మిశ్రమముల సంఖ్య = 4x3x2 / 1x2x3 = 4

3. “క్రమచయసంచయము” ఈ పదము ఎక్కడ ఎలా పుట్టిందో నాకు తెలియదు. నాకు తెలిసినదానితో అన్వయము:

క్రమ = ఒక వరుసలో (order)

చయ(ము) = సముదాయము(collection, set)

సంచయము = ఏరుట (selection, combination)

క్రమచయము  = permutation (ordering of a set)

సంచయము = combination

క్రమచయసంచయము =  permutations and combinations.

సంచయము - వివరణ

1.

నాలుగు మణులున్నాయి. ముత్యము, పగడము, నీలము, పచ్చ

ఈ నాలుగూ కలిపి ఒక వరుసలో కూర్చి, ఎన్ని తీరులు గుచ్చ వచ్చు?

1ముత్యము,2పగడము,3నీలము,4పచ్చ

1ముత్యము,2పగడము,3 పచ్చ,4నీలము

1ముత్యము,2నీలము,3పగడము,4పచ్చ

1ముత్యము,2నీలము,3పచ్చ,4పగడము

1ముత్యము,2 పచ్చ,3నీలము,4పగడము

1ముత్యము,2 పచ్చ,3పగడము,4నీలము

ఇవి 6 ముత్యముతో మొదలయ్యే క్రమాలు.  ఇలాగే పగడముతో 6, నీలముతో 6, పచ్చతో 6, ఉంటాయి.  మొత్తము 24.

ఇలాంటి సమస్యే ఎక్కువ వస్తువులతో వస్తే, లెక్క తేలేది ఎలా?

ఒకటి నుండి మొదలు పెట్టి, ఎన్ని వస్తువులు ఉన్నాయో అంతవరకు, సంఖ్యలు తీసుకుని, అవన్నీ గుణించండి. ఇలా

4 వస్తువులు ఉంటే 1x2x3x4 = 24

10 వస్తువులు ఉంటే 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 =?

సంచయం గణించే పద్ధతి పైనది.

శుశ్రుతుడు తన చరక సంహితలో రసాయనాలగురించి రాస్తూ ఇదే సమీకరణంని ఉదహరించాడు. అంటే ఆయుర్వేదం అంతకు ముందే ఈ క్రమచయసంచయంని గుర్తించిందన్నమాట. ప్రస్తుతం మన లెక్కల ప్రకారం శుశ్రుతుడు 400 - 200 B.C లో చరక సంహితని రాసాడు. అంటే వికీపీడియాలో ఉన్న సమయకాలం కంటే 1500 సంవత్సరాలపైనే మనకి ఈ సమీకరణం తెలుసు. ఆయుర్వేదం ఉపవేదం కాబట్టి ఇది నిజంగా ఇంకా చాలా పురాతనమైనది అయుండాలి. ఇంకా పరిశోధన అవసరం.

ఇంతే కాదు; నా దగ్గిర డా. ఏ. బీ . పద్మనాభరావు గారు ఆంగ్లంలో వివరించిన ప్రముఖ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు భాస్కరాచార్యుల వారి "లీలావతి" పుస్తకం ఉన్నది. భాస్కరులు క్రీ.శ. 1114-1200 సమయం వారు. ఉత్సాహంగా ఆ పుస్తకం తిరగేస్తే, ఈ క్రమచయసంచయం మీద పూర్తి అధ్యాయం ఉన్నది! మచ్చుకి ఒక శ్లోకం చూడండి:

ఏకాద్యేకోత్తరా సంఖ్యా వ్యస్తా భాజ్యా క్రమస్థితై:
పరః పూర్వేణ సంగుణ్యస్తత్పరస్తేన తేన చ || (భాస్కరాచార్య లీలావతి, మొదటి భాగం, అరిథమెటిక్ అండ్ ఆల్జీబ్రా,  శ్లోకం 112)

ఇది చూడగానే మీకు ఇది వరాహమిహిరుడు ఇచ్చిన సమీకరణమే అని వెంటనే తెలిసిపోతుంది. నేను అనువదించక్కరలేదు. నేను దాన్ని ఆంగ్లంలో రాస్తే

Notation:  nC 1 nC 2 nC 3 ... nC (n−1) nC n

These are the combinations of n things taken 1, 2, 3 ... etc. at a time. అంటే అప్పటికే క్రమచయసంచయం ఎంతగా అభివృద్ధి చెందిందో చూడండి! ఇలా ఉన్నదాన్ని 16వ శతాబ్దికి చెందిన వాడు ఎవడో కనిపెట్టాడనడం హాస్యాస్పదం అవదూ? మనవాళ్ళు గణితం అంటే దానికి ఎదో ఒక ఉపయోగం ఉంటేనే దాన్ని పూర్తిగా అభివృద్ధి చేసేవారు. పైగా గణితంలోనే ఈ క్రమచయసంచయం అతి సుందరమైనదిగా, సాధారణ గణికులకి అర్థం కానిదిగా వర్ణించారు. గణితం అంతా సంస్కృతంలో ఛందోబద్ధమైన శ్లోక రూపంలో రాయాలంటే మాటలు కాదు. అవి అర్థం చేసుకోవాలన్నా కొంత అభిరుచి, శ్రమ కావాలి. వీటిని ప్రజాసామాన్యానికి అందించాలి. మనదైనది ఇంతుంటే మనం పాశ్చాత్త్యులకి తలవంచడమేంటి?

అసలు నా సంస్కృత ప్రత్యయ రూపాలమీద పరిశోధనకీ దీనికీ సంబంధమేమిటని మీకు ఒక ప్రశ్న రావచ్చు. వ్యాసపొడిగింపుకి భయపడి, ఇది రెండో భాగంగా రాస్తాను.

రెండవ భాగం:

ఈ రెండో భాగాన్ని వేరేగా రాద్దామనుకున్నాను కానీ, ఒక పాఠకుడు అయాచితంగా ఇచ్చిన సలహా - దీన్ని సనాతన ధర్మంతో ముడిపెట్టకండి - అని రాసిన మాటతో నాకు ఆలోచన మారింది. సనాతన ధర్మంలో భాగంగానే అన్ని శాస్త్రాలూ పుట్టాయి. మరి ఆ మాటని అంగీకరించడంలో మనకున్న లజ్జ ఏమిటి? నా అభిప్రాయం ప్రకారం, "ధర్మం" అనే మాటకి "మతం" అని మనం అర్థం చెప్పుకుంటున్నాము. అసలు ఈ తప్పుడు అర్థం పాశ్చాత్త్యులు మనకిచ్చినది. నాకు మట్టుకు నాకు ధర్మం అనే మాటకి 22 ఆంగ్ల పదాలు వచ్చాయి. వాటిల్లో ఒక్కటి కూడా Religion అని లేదు. వ్యాసాన్ని మళ్ళీ అటువైపు మళ్లించకుండా, ముందుకు సాగుతాను.

ప్రత్యయాలనేవి సంస్కృత భాషలో (మిగతా భాషలలో లేవని కాదు) ధాతువులకి, ధాతువుల నించి పుట్టే శబ్ద ప్రాతిపదికలకి జోడించే అక్షర సముదాయాలు. వీటివల్ల కొత్త పదాలు, భాషకవసరమైనవి పుడతాయని అందరికీ తెలిసిందే. ఈ కాంబినేషన్లు ఎలా ఉంటాయనే మాట మీద మన పూర్వీకులు, ఋషులు గొప్ప పరిశోధన చేసారు. ఈ విషయంలో గొప్ప పరిశోధన చేసిన వారెంతమందో ఉన్నారు. నేను కేవలం వారి మాటలని ఉదహరిస్తున్నానే కానీ, నాకు వారికున్నంత విద్వత్తుందని చెప్పటంలేదని మనవి.

The Indian Journal of HIstory of Science 26(1), 1991

The Pratyayas: Indian Contribution to Combinatorics, by Ludwig Alsdorf, Translated from German by Sreeramula Rajeswara Sarma, Aligarh Muslim University.

ఈ పై పేపర్లో, రాజా హేమచంద్రుడి "ఛందోనుశాసనం" అనే పుస్తకంలోనూ, పింగళుడి "ఛందస్శాస్త్ర" లోనూ ప్రత్యయాల సంచయాల గురించి వివరంగా ఉన్నది. అలాగే భరతుడి నాట్యశాస్త్రంలో ప్రత్యయాలమీద ఒక పూర్తి అధ్యాయం ఉన్నది. మనకి ఒక అనుమానం రావచ్చు: ఛందస్సుతో మొదలెట్టి ఈయన సంగీతంలోకి, నాట్యంలోకి వెళ్ళాడేంటి? అని. అదే భారతీయ శాస్త్రంలో ఉన్న గొప్పదనం. ఏదీ విడివిడిగా ఉండదు. గణితం అనేది ఛందస్సులో మాత్రమే కాదు; సంగీతంలో కూడా ఎంత ముఖ్యమైనదో మనకి సులువుగా తెలిసిపోతుంది. ఈ వ్యాసాన్ని గణితం మీద ఫోకస్ చేసి రాయాలనేది నా ఉద్దేశ్యం కాదు. అందుకని వివరాలు పూర్తిగా ఇక్కడ ఇవ్వకుండా, ఎవరైనా కావాలంటే నేను ఎక్కడ దొరుకుతాయో చెప్పడానికి సిద్ధంగా ఉన్నాను. మరీ మాథెమటికల్ గా రాస్తే అందరూ చదవలేరు.

ప్రస్తార, నష్ట, ఉద్దిష్ట, లగ క్రియ, సంఖ్యా, అధ్వాయోగ అనే ఆరు ప్రత్యయాల ప్రక్రియలు ఉన్నాయి. వాటితోపాటు 'పరివర్తన' అనే ప్రక్రియని కూడా జోడించి నేమిచంద్రుడు తన "గొమ్మఠసారం"లో ఒకొక్క వర్గంలోంచి (Set లోంచి) ఒకొక్క వస్తువు తీసుకుని, మొత్తం ఎన్ని కాంబినేషన్లు చెయ్యచ్చో రుజువు చేసాడు. ముఖ్యంగా n = 5, n =3 సంఖ్యలతో సంచయాలు ఎలా ఏర్పడతాయో రుజువు చేసాడు. అలాగే నారాయణ పండితుడు తన "గణితకౌముది" అనే ప్రముఖ గ్రంథంలో ఈ ప్రత్యయాల గురించి రాసాడు. ఈ సంచయ రూల్స్ వాడి పాణిని అష్టాధ్యాయ సూత్రాలతో ఎన్ని పదాలు తయారు చెయ్యచ్చనే ప్రశ్న - సరదాకి ప్రయత్నిస్తే అసంఖ్యాకం అని బదులు వస్తుంది! మరి, ఇలా ప్రత్యయాలని గణితంలో మాత్రమే కాక ఇతర శాస్త్రాలలో ఎందుకు, ఎలా వాడారని ప్రశ్న వస్తుంది కదా? కింద చూడండి.

భరతుడి నాట్య శాస్త్రంలో క్రమచయ, సంచయాలు ఎలా చెయ్యచ్చో వివరంగా ఉన్నది. పింగళుడు, భరతుడి సమయకాలంలో వివాదాలున్నాయి కాబట్టి రాయక్కరలేదు కానీ, క్రీస్తు శకంకి ముందర కొన్ని శతాబ్దాల క్రితమే ఇదంతా రాయబడ్డట్టు అర్థమవుతుంది కదా? దీనితో మనకి ఇంకొక విషయం అర్థం అవుతుంది. వివిధ శాస్త్రాలు రాసేవారికి గణితం యొక్క అవసరమూ, గణిత శాస్త్ర జ్ఞానమూ ఉండేవని, ఆ విజ్ఞానాన్ని తాము తయారు చేసే శాస్త్రానికి అనుగుణంగా అభివృద్ధి చేసారని అర్థం అవుతుంది.

సంగీతంలో తానం, తాళం అనే పదాలున్నాయని నేను చెప్పక్కరలేదు. ఈ తాన, తాళ ప్రస్తారాల గురించి శార్ఙ్గదేవుడు తన "సంగీత రత్నాకరం" (1225 A.D.) లో మొదటి అధ్యాయంలో అద్భుతంగా వివరించాడు. ఈ తాన ప్రస్తారాలని జనరేట్ చెయ్యాలంటే "n!" క్రమచయాలని n స్వర సంకేతాలతో ఎలా తయారు చెయ్యచ్చో చూపించాడు. ఏ సంఖ్య తీసుకున్నా ఆ సంఖ్యని ఒక క్రమచయ సంకలనంగా సులభంగా చూడడానికి 'ఖండ మేరు' అనే పట్టికని కూడా తయారు చేసాడు. అంటే ఈ పద్ధతిని వాడి ఎన్ని రకాలైన తాన ప్రస్తారాలైనా తయారు చేసుకోవచ్చన్నమాట. సనాతన ధర్మంతో క్రమచయ సంచయం ఎలా ముడిపడి ఉందో చూపించడానికి కర్ణాటక సంగీతం కంటే ఇంకొక ఉదాహరణ ఉంటుందా? ఇదే గ్రంథం 6వ అధ్యాయంలో తాళ ప్రస్తారాల గురించి శార్ఙ్గదేవుడు రాస్తూ, వేదాలలో మనకి ఛందస్సులో అవసరమైన లఘు, గురు, ప్లుతం వంటి పదజాలాన్ని, సంగీతంలో వాటిని ఉపయోగించడం వల్ల వచ్చే మ్యూజికల్ patterns (సంగీత విన్యాసాలు) ని ఎలా లెక్కించాలో వివరించాడు. దీని వెనకాల Sixth Order Polynomials ఉంటాయనీ, ఆ Equations ఎలా వాడాలో కూడా చూపించాడు. నాట్యశాస్త్రం కంటే సనాతన ధర్మం లో క్రమచయసంచయాలకి రుజువు ఎలా ఇవ్వగలం?

ఈ ఖండమేరు పట్టికలనీ, ఇంకా కొన్ని ప్రత్యయ విశేషాలనీ ఇంకొక వ్యాసంలో రాస్తాను.

### సమాప్తం ###

Posted in January 2021, వ్యాసాలు

1 Comment

  1. Hymavathy. Aduri

    అద్భుతమైన వ్యాసం .ఇంకా ఇలాంటివి మన గణితాన్ని గుర్తించి వ్రాసి భారతీయులకే కాకం ప్రపంచ నేత్రాలు ఇంకాతెరిపించాలని మనవి. గణితం నా ఇష్ట పాఠ్యాంశం. చిన్నతనంలో గణితం అంటే విపరీతమైన అభిమానం . now I am 74 .Retired HM.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *